نظریه Drift–Diffusion: از انتقال بولتزمان تا موازنه انرژی

این صفحه یک استخراج مبتنی بر اصول اولیه از معادلات drift–diffusion مورد استفاده در شبیه‌سازی دستگاه‌های نیمه‌رسانا را ارائه می‌کند، با شروع از معادله انتقال بولتزمان در تقریب زمان آرامش. با گرفتن ممان‌های متوالی از معادله بولتزمان، نشان می‌دهیم که چگونه معادلات پیوستگی الکترون و حفره، روابط جریان drift–diffusion، و معادلات انتقال انرژی (حامل داغ) در یک چارچوب واحد، خودسازگار پدیدار می‌شوند. تأکید ویژه‌ای بر هتروجانکشن‌ها، رانش لبه‌باند، اثرات چگالی حالات، و انتقال حرارتی قرار داده شده است، که به معادلات آماده برای حل‌گر منتهی می‌شود که در OghmaNano پیاده‌سازی شده‌اند.

1. مقدمه

موتور الکتریکی OghmaNano یک چارچوب drift–diffusion یک‌بعدی/دوبعدی/سه‌بعدی است که ویژگی تعیین‌کننده آن پشتیبانی از حالت‌های تله پویا (غیرتعادلی) است. به‌جای آن‌که فرض شود تله‌ها به‌طور آنی با حامل‌های آزاد به تعادل می‌رسند، OghmaNano می‌تواند اشغال تله‌ها را هم در انرژی و هم در فضا به‌صورت صریح تکامل دهد، که برای مدل‌سازی صحیح نیمه‌رساناهای بی‌نظم و اندازه‌گیری‌های گذرا (مثلاً ToF، CELIV) و همچنین عملکرد حالت پایا ضروری است.

مسیرهای معتبر زیادی برای رسیدن به drift–diffusion وجود دارد. برای مثال، می‌توان آن را از معادله انتقال بولتزمان از طریق بسط‌های ممانی و بستارهای کنترل‌شده استخراج کرد، از ترمودینامیک برگشت‌ناپذیر (استدلال‌های Onsager / تولید آنتروپی)، یا از دیدگاه گام تصادفی / فاکر–پلانک که پرش میکروسکوپی را به رانش و نفوذ ماکروسکوپی متصل می‌کند. این رویکردها اغلب در نگاه اول معادلاتی تولید می‌کنند که شبیه هم به نظر می‌رسند، اما وقتی از ساده‌ترین حالت «نیمه‌رسانای همگن» فراتر می‌روید، همگی به یک اندازه قابل اعتماد نیستند.

به‌ویژه، وقتی هتروجانکشن‌ها، چگالی مؤثر حالات با تغییر مکانی، جرم مؤثر وابسته به مکان، گرادیان‌های لبه‌باند، یا آمارهای غیر بدیهی را وارد می‌کنید، دیگر امن نیست که فقط جملات اضافی را به یک جریان drift–diffusion اضافه کنید و امیدوار باشید نتیجه همچنان خودسازگار باقی بماند. همین موضوع زمانی هم صادق است که شروع به وارد کردن رانش حرارتی یا کوپل کردن انتقال الکتریکی با تولید گرما می‌کنید. آنچه نیاز دارید یک چارچوب استخراج است که به‌طور طبیعی جملات اضافی صحیح را تولید کند و مسیر روشنی برای بسط‌ها فراهم سازد، نه مجموعه‌ای از اصلاحات ad hoc.

به همین دلیل، استخراج ارائه‌شده در اینجا از معادله انتقال بولتزمان آغاز می‌شود. گرفتن ممان‌ها از BTE به‌طور نظام‌مند معادلات پیوستگی و روابط سازنده drift–diffusion را به‌صورت حد اینرسی پایین به دست می‌دهد، و همچنین نشان می‌دهد که همین چارچوب چگونه به سطح بعدی «ارتقا» می‌یابد: معادلات موازنه انرژی (انتقال انرژی). حتی اگر مدل هیدرودینامیکی کامل را حل نکنید، چارچوب انرژی ارزشمند است، زیرا جملات خودسازگار منبع گرمای الکتریکی را مشخص می‌کند و روشن می‌سازد که چه زمانی باید گرمایش حامل را در نظر گرفت. استخراج زیر بنیان مدل الکتریکی OghmaNano را تشکیل می‌دهد.

2. معادله انتقال بولتزمان (RTA)

در بنیادی‌ترین سطحی که در مدل‌سازی دستگاه استفاده می‌شود، انتقال بار بر حسب یک تابع توزیع \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) توصیف می‌شود. این تابع احتمال یافتن یک حامل بار را در مکان \(\mathbf{r}\)، با تکانه بلوری \(\hbar\mathbf{k}\)، در زمان \(t\) نشان می‌دهد. تمام کمیت‌های الکتریکی ماکروسکوپی — چگالی حامل، چگالی جریان، چگالی انرژی — را می‌توان با گرفتن ممان‌های مناسب از این توزیع به دست آورد.

معادله انتقال بولتزمان (BTE) معادله حرکت این تابع توزیع است. این یک قانون بقا در فضای فاز است: حساب می‌کند که حامل‌ها چگونه در فضای واقعی حرکت می‌کنند، چگونه تکانه آن‌ها تحت نیروهای اعمال‌شده تغییر می‌کند، و چگونه فرایندهای پراکندگی حامل‌ها را در فضای تکانه بازتوزیع می‌کنند. بنابراین شروع از BTE یک چارچوب واحد و یکپارچه فراهم می‌کند که از آن drift–diffusion، انتقال انرژی، و مدل‌های مرتبط همگی به‌صورت سازگار قابل استخراج هستند.

در شکل کامل خود، جمله برخورد (پراکندگی) در BTE پیچیده و وابسته به ماده است. برای مدل‌سازی عملی دستگاه معمول است که از تقریب زمان آرامش (RTA) استفاده شود، که در آن فرض می‌شود پراکندگی، توزیع را در یک زمان مشخصه \(\tau\) به سمت یک فرم شبه‌تعادلی محلی \(f^0\) می‌راند. این تقریب فیزیک اساسی آرامش تکانه و انرژی را حفظ می‌کند و در عین حال معادلات را قابل حل نگه می‌دارد.

با این تقریب، معادله انتقال بولتزمان نیمه‌کلاسیکی را می‌توان به‌صورت زیر نوشت

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

سه جمله سمت چپ معنای فیزیکی روشنی دارند: جمله اول تکامل زمانی صریح توزیع را توصیف می‌کند، جمله دوم انتقال در فضای واقعی با سرعت حامل \(\mathbf{v}\) را توصیف می‌کند، و جمله سوم شتاب در فضای تکانه را به‌علت یک نیروی اعمال‌شده \(\mathbf{F}\) بیان می‌کند (برای مثال \(\mathbf{F}=-q\mathbf{E}\) در یک میدان الکتریکی). سمت راست نمایانگر پراکندگی است که سامانه را به سمت \(f^0\) آرام می‌کند.

نظریه drift–diffusion تلاش نمی‌کند این معادله را مستقیماً حل کند. در عوض، با گرفتن ممان‌ها از BTE — انتگرال‌گیری روی فضای تکانه — معادلات تکامل برای کمیت‌های فیزیکی معناداری چون چگالی حامل، چگالی جریان، و چگالی انرژی را به دست می‌آورد. بخش‌های بعدی نشان می‌دهند که این روند چگونه به‌طور طبیعی به معادلات آشنای drift–diffusion و در سطح بعدی به مدل‌های موازنه انرژی (حامل داغ) منتهی می‌شود.

3. گرفتن ممان‌ها از معادله انتقال بولتزمان

معادله انتقال بولتزمان دینامیک حامل را بر حسب یک تابع توزیع \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) توصیف می‌کند، که اشغال حالت‌های الکترونی را به‌صورت تابعی از مکان، تکانه، و زمان می‌دهد. در تعادل این توزیع به تابع آشنای فرمی–دیراک کاهش می‌یابد، در حالی که تحت بایاس در پاسخ به میدان‌های الکتریکی، تغییرات لبه‌باند، و فرایندهای پراکندگی تکامل می‌یابد. برای به دست آوردن معادلاتی که در مقیاس دستگاه مفید باشند، تلاش نمی‌کنیم مستقیماً \(f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\) را حل کنیم. در عوض، معادلات تکامل برای کمیت‌های ماکروسکوپی را با گرفتن ممان‌ها از کل معادله بولتزمان استخراج می‌کنیم، و به‌صورت نظام‌مند آمار میکروسکوپی حامل را به drift–diffusion، انتقال انرژی، و مدل‌های مرتبط متصل می‌سازیم.

به‌طور صوری، یک معادله ممانی با ضرب کردن کل BTE در یک وزن \(A(\mathbf{k})\) و انتگرال‌گیری روی کل فضای تکانه به‌دست می‌آید:

\[ \int A(\mathbf{k}) \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f \right) \mathrm{d}^3k = \int A(\mathbf{k})\left(-\frac{f-f^0}{\tau}\right)\mathrm{d}^3k. \]

هر انتخاب برای تابع وزن‌دهی \(A(\mathbf{k})\) یک معادله موازنه تولید می‌کند: یک معادله تکامل که بیان می‌کند یک کمیت ماکروسکوپی چگونه رانده می‌شود و چگونه آرام می‌گیرد. قرار دادن \(A=1\) معادله موازنه ذره را می‌دهد که از آن معادلات پیوستگی آشنای الکترون و حفره به‌دست می‌آیند. گرفتن ممان اول، با \(A=\hbar\mathbf{k}\) (یا به‌طور معادل \(m^\ast\mathbf{v}\))، یک معادله موازنه تکانه تولید می‌کند که توصیف می‌کند تکانه حامل چگونه به نیروها و پراکندگی پاسخ می‌دهد؛ جریان استاندارد drift–diffusion با گرفتن حد بیش‌میرای این معادله بازیابی می‌شود، که در آن تکانه به‌سرعت آرام می‌گیرد و جملات اینرسی نادیده گرفته می‌شوند. گرفتن ممان بعدی، با \(A=W(\mathbf{k})\)، یک معادله موازنه انرژی می‌دهد، که انتقال و آرامش انرژی حامل را توصیف می‌کند و کمینه بسط لازم برای مدل‌سازی حامل‌های داغ، رانش حرارتی، و تولید گرمای الکتریکی را فراهم می‌سازد. به این ترتیب، پیوستگی، drift–diffusion، و مدل‌های انتقال انرژی به‌صورت سطوح متوالی تقریب در یک چارچوب واحد و خودسازگار پدیدار می‌شوند.

drift–diffusion استاندارد تنها معادله موازنه ذره و یک رابطه سازنده ساده‌شده برای جریان که از معادله موازنه تکانه به‌دست آمده است را نگه می‌دارد. با این کار، انرژی حامل را پایا نگه نمی‌دارد.

4. ممان صفرم: موازنه ذره (معادله پیوستگی)

اولین و مهم‌ترین ممان معادله انتقال بولتزمان با قرار دادن تابع وزن‌دهی برابر یک، \(A(\mathbf{k}) = 1\)، به‌دست می‌آید. این کار متناظر با شمارش حامل‌ها است: انتگرال‌گیری از کل معادله بولتزمان روی تمام تکانه‌ها یک قانون موازنه برای کل چگالی حامل در هر نقطه از فضا می‌دهد. به همین دلیل ممان صفرم را معادله موازنه ذره (یا پیوستگی ذره) می‌نامند.

4.1 استخراج (ممان صفرم / موازنه ذره)

از فرم زمان آرامش معادله بولتزمان شروع می‌کنیم:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau}. \]

در \(A(\mathbf{k})=1\) ضرب کرده و روی تمام \(\mathbf{k}\) انتگرال بگیرید:

\[ \int \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

جمله اول چگالی حامل را تعریف می‌کند \[ n(\mathbf{r},t) = \int f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k, \] به‌طوری که \[ \int \frac{\partial f}{\partial t}\,\mathrm{d}^3k = \frac{\partial n}{\partial t}. \]

جمله دوم به یک واگرایی در فضای واقعی تبدیل می‌شود:

\[ \int \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f \,\mathrm{d}^3k = \nabla_{\mathbf{r}}\cdot \int \mathbf{v}\, f \,\mathrm{d}^3k \equiv \nabla\cdot(n\mathbf{u}), \]

که در آن سرعت متوسط حامل برابر است با \[ \mathbf{u}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{n}\int \mathbf{v}(\mathbf{k})\, f(\mathbf{r},\mathbf{k},t)\,\mathrm{d}^3k. \]

جمله سوم (جمله نیرو) تحت فرض‌های استاندارد که توزیع با \(|\mathbf{k}|\rightarrow\infty\) به‌سرعت افت می‌کند، صفر می‌شود، بنابراین انتگرال سطحی متناظر در فضای \(\mathbf{k}\) صفر است:

\[ \int \nabla_{\mathbf{k}}\cdot(\cdots)\,\mathrm{d}^3k \approx 0. \]

با جمع‌بندی جملات، معادله ممان صفرم به‌صورت زیر درمی‌آید

\[ \frac{\partial n}{\partial t} + \nabla\cdot(n\mathbf{u}) = -\int \frac{f - f^0}{\tau}\,\mathrm{d}^3k. \]

سمت راست، فرایندهایی را نشان می‌دهد که وقتی در سطح drift–diffusion به آن نگاه کنیم، حامل‌های آزاد را ایجاد یا حذف می‌کنند: تولید، بازترکیب، و (در مواد دارای تله) تبادل با حالت‌های تله. بنابراین آن را به‌صورت فشرده \(G - R\) می‌نویسیم (که در آن گیراندازی/گسیل تله در جمله مؤثر \(R\) لحاظ شده یا به‌صورت صریح در مدل تله‌گذاری نوشته می‌شود).

4.2 معادله پیوستگی در فرم drift–diffusion

با معرفی چگالی جریان الکترون \[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u} \] معادله موازنه ذره به معادله پیوستگی آشنای الکترون تبدیل می‌شود:

\[ \frac{\partial n}{\partial t} = \frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_n + G - R. \]

معادله پیوستگی متناظر برای حفره‌ها برابر است با

\[ \frac{\partial p}{\partial t} = -\frac{1}{q}\nabla\cdot \mathbf{J}_p + G - R. \]

5. ممان اول: موازنه تکانه → جریان drift–diffusion

معادلات جریان drift–diffusion از ممان اول معادله انتقال بولتزمان به‌دست می‌آیند. این ممان متناظر با یک موازنه تکانه است که توصیف می‌کند تکانه حامل چگونه به‌وسیله نیروهایی مانند میدان‌های الکتریکی و گرادیان‌های لبه‌باند رانده می‌شود، و چگونه توسط پراکندگی کاهش می‌یابد. به‌جای حل معادله کامل موازنه تکانه، drift–diffusion استاندارد با بیان مستقیم سرعت حامل بر حسب نیروهای رانش موضعی به‌دست می‌آید، بدون آن‌که یک معادله تکامل صریح برای تکانه یا انرژی نگه داشته شود. این تقریب هر زمان که اثرات مرتبه بالاتر انتقال تکانه و انرژی مورد نیاز نباشند مناسب است.

5.1 از ممان اول BTE تا جریان drift–diffusion

از معادله انتقال بولتزمان در تقریب زمان آرامش شروع می‌کنیم، که با زمان آرامش تکانه \(\tau_p\) نوشته می‌شود:

\[ \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f = -\frac{f - f^0}{\tau_p}. \]

برای به‌دست آوردن موازنه تکانه، کل معادله را در وزن شبه‌تکانه‌ای \(A(\mathbf{k}) = m^\ast \mathbf{v}\) ضرب کنید (برای یک باند سهموی، معادل \(\hbar\mathbf{k}\) است)، و روی فضای تکانه انتگرال بگیرید:

\[ \int m^\ast\mathbf{v} \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot \nabla_{\mathbf{r}} f + \frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot \nabla_{\mathbf{k}} f \right)\mathrm{d}^3k = -\int m^\ast\mathbf{v}\,\frac{f-f^0}{\tau_p}\,\mathrm{d}^3k. \]

5.2 شناسایی ممان سرعت، جریان، و فشار

انتگرال‌های ممان اول کمیت‌هایی را وارد می‌کنند که در معادلات انتقال در مقیاس دستگاه ظاهر می‌شوند. ابتدا چگالی حامل و سرعت متوسط حامل را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم

\[ n = \int f\,\mathrm{d}^3k, \qquad \mathbf{u} = \frac{1}{n}\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

سرعت \(\mathbf{u}\) که در بالا تعریف شد، سرعت متوسط (یا میانگین) حامل است. این کمیت رانش خالص جمعیت حامل را در یک نقطه معین از فضا نشان می‌دهد. حامل‌های منفرد معمولاً بسیار سریع‌تر از \(\mathbf{u}\) حرکت می‌کنند، و حرکت حرارتی تصادفی آن‌ها بر این رانش جمعی آهسته سوار است. بنابراین سرعت متوسط، سرعت معمول یک حامل نیست، بلکه همان سرعت باقیمانده کوچک است که پس از میانگین‌گیری روی تمام حرکت‌های میکروسکوپی باقی می‌ماند.

این تمایز بسیار مهم است. حرکت حرارتی تصادفی به جریان الکتریکی کمک نمی‌کند، زیرا میانگین آن صفر است، در حالی که سرعت رانش متوسط \(\mathbf{u}\) عدم‌تعادل در حرکت حامل ناشی از میدان‌های الکتریکی، گرادیان‌های غلظت، و گرادیان‌های دما را ثبت می‌کند. همین سرعت متوسط است که چگالی جریان ماکروسکوپی را تعیین می‌کند.

با این تعاریف، شار ذره برابر است با \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\)، و چگالی جریان الکترون برابر است با

\[ \mathbf{J}_n = -q\,n\,\mathbf{u}. \]

جایگذاری این تعاریف در معادله ممان اول اجازه می‌دهد انتگرال‌های فضای تکانه کاملاً بر حسب \(n\)، \(\mathbf{u}\)، و ممان‌های مرتبه بالاتر سرعت بازنویسی شوند. به‌ویژه، جمله برخورد ساده می‌شود، زیرا توزیع مرجع \(f^0\) یک حالت تعادل محلی با سرعت رانش متوسط صفر را نشان می‌دهد، بنابراین

\[ \int m^\ast \mathbf{v}\, f^0 \,\mathrm{d}^3k = 0. \]

در نتیجه، جمله برخورد فقط یک جمله آرامش تکانه متناسب با سرعت متوسط \(\mathbf{u}\) ایجاد می‌کند.

جمله باقی‌مانده انتقال مکانی در معادله ممان اول شامل انتگرال‌هایی از فرم \(\int m^\ast \mathbf{v}\mathbf{v}\, f\,\mathrm{d}^3k\) است، که شار تکانه در فضا را نمایش می‌دهند. برای روشن کردن محتوای فیزیکی این جمله، سرعت حامل را به یک بخش میانگین و یک نوسان تجزیه می‌کنیم:

\[ \mathbf{v} = \mathbf{u} + (\mathbf{v}-\mathbf{u}). \]

جایگذاری این تجزیه در ممان دوم سرعت و استفاده از \(\int (\mathbf{v}-\mathbf{u}) f\,\mathrm{d}^3k = 0\) شار تکانه را به یک سهم همرفتی و یک جمله نوسانی تقسیم می‌کند. سهم نوسانی به‌عنوان تانسور فشار (یا تنش) حامل شناسایی می‌شود،

\[ \mathbf{P} = m^\ast \int (\mathbf{v}-\mathbf{u})(\mathbf{v}-\mathbf{u})\, f \,\mathrm{d}^3k. \]

از نظر فیزیکی، \(\mathbf{P}\) انتقال تکانه مرتبط با نوسان‌های سرعت حول سرعت رانش متوسط را نشان می‌دهد. واگرایی آن جملات نفوذ و رانش حرارتی را در معادلات انتقال کاهش‌یافته ایجاد می‌کند.

با جمع‌آوری تمام سهم‌ها، معادله ممان اول اکنون می‌تواند به‌صورت زیر نوشته شود

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n m^\ast \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{P} + n\,\mathbf{F} = -\frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

این معادله همان موازنه کلی تکانه است که مستقیماً از ممان اول معادله انتقال بولتزمان به‌دست آمده است. هنوز هیچ فرض drift–diffusionای اعمال نشده است؛ این فرض‌ها در گام بعدی وارد می‌شوند، جایی که موازنه تکانه به یک موازنه نیروی موضعی کاهش داده می‌شود.

5.3 کاهش موازنه تکانه به یک موازنه نیرو

در مدل‌سازی drift–diffusion، هدف ما حل صریح تکامل زمانی یا انتقال مکانی خود تکانه نیست. در عوض، فرض می‌کنیم که تکانه حامل به‌صورت موضعی با نیروهای اعمال‌شده تنظیم می‌شود، به‌طوری‌که هرگونه اثر گذرا یا غیرموضعی انتقال تکانه را می‌توان نادیده گرفت. تحت این فرض، موازنه تکانه با حذف صریح جملات انتقال تکانه و اینرسی ساده می‌شود، در حالی که جملات نیرو و آرامش حفظ می‌شوند.

با این تقریب، موازنه تکانه به صورت زیر کاهش می‌یابد

\[ n\,\mathbf{F} - \nabla \cdot \mathbf{P} = \frac{n m^\ast \mathbf{u}}{\tau_p}. \]

وقتی به این صورت نوشته شود، این معادله باید به‌عنوان یک موازنه نیروی موضعی خوانده شود: نیروهای رانش‌دهنده حرکت حامل با اتلاف تکانه به علت پراکندگی موازنه می‌شوند.

جمله باقیمانده \(\nabla \cdot \mathbf{P}\) نشان می‌دهد که تکانه چگونه به‌وسیله حرکت تصادفی حامل بازتوزیع می‌شود. خود تانسور \(\mathbf{P}\) همبستگی بین مؤلفه‌های سرعت را رمزگذاری می‌کند، و به‌طور کلی امکان انتقال تکانه ناهمسانگرد را فراهم می‌سازد. در بسیاری از دستگاه‌های نیمه‌رسانا، توزیع حامل در فضای سرعت تقریباً همسانگرد است. در این حالت، جهت ترجیحی برای نوسان‌های سرعت وجود ندارد، و تانسور فشار به یک فشار اسکالر ضربدر تانسور همانی کاهش می‌یابد:

\[ \mathbf{P} \approx p\,\mathbf{I}. \]

از نظر فیزیکی، این به آن معناست که حرکت حرارتی تصادفی در همه جهت‌ها سهم برابر دارد. هنگامی که این فرم در موازنه تکانه جایگذاری شود، واگرایی تانسور فشار به گرادیان یک فشار اسکالر ساده می‌شود:

\[ \nabla \cdot \mathbf{P} = \nabla \cdot (p\,\mathbf{I}) = \nabla p. \]

این جمله منبع نفوذ و رانش حرارتی در معادلات drift–diffusion است. در بخش بعد، این معادله موازنه نیرو برای سرعت متوسط حامل \(\mathbf{u}\) حل می‌شود و مستقیماً به جریان drift–diffusion منتهی می‌گردد.

5.4 از موازنه نیرو تا جریان drift–diffusion

اکنون به موازنه تکانه محلی کاهش‌یافته که در بخش قبل به‌دست آمد بازمی‌گردیم. برای الکترون‌ها، مناسب است که نیروی رانش را بر حسب لبه باند رسانش \(E_c(\mathbf{r})\) بیان کنیم، که هم پتانسیل الکترواستاتیکی و هم جابه‌جایی‌های ماده را در بر می‌گیرد. بنابراین نیروی وارد بر الکترون‌ها را به‌صورت زیر می‌نویسیم

\[ \mathbf{F} = -\nabla E_c, \]

که در آن \(E_c(\mathbf{r})\) را می‌توان (تا یک مرجع) به‌صورت \(E_c = \chi - q\phi\) نوشت، به‌طوری که تغییرات مکانی در الکترون‌خواهی یا پتانسیل الکترواستاتیکی هر دو به‌طور طبیعی در رانش حامل سهم دارند. جایگذاری این عبارت در موازنه تکانه کاهش‌یافته می‌دهد

\[ -\,n\,\nabla E_c - \nabla p = \frac{n m^\ast}{\tau_p}\,\mathbf{u}. \]

این معادله یک موازنه موضعی بین رانش لبه‌باند، انتقال رانده‌شده با فشار، و اتلاف تکانه به علت پراکندگی را بیان می‌کند. با حل آن برای سرعت متوسط حامل داریم

\[ \mathbf{u} = -\frac{\tau_p}{m^\ast} \left( \nabla E_c + \frac{1}{n}\nabla p \right). \]

با استفاده از تعریف چگالی جریان الکترون، \(\mathbf{J}_n = -q n \mathbf{u}\)، به‌دست می‌آوریم

\[ \mathbf{J}_n = q\,\frac{q\tau_p}{m^\ast}\,n\,\nabla E_c + q\,\frac{\tau_p}{m^\ast}\,\nabla p. \]

با معرفی تحرک \(\mu_n \equiv q\tau_p/m^\ast\)، این رابطه به شکل زیر در می‌آید

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n\,\nabla p. \]

در این مرحله، جریان بر حسب گرادیان فشار \(\nabla p\) بیان شده است، و هنوز هیچ فرضی درباره آمار حامل انجام نشده است. برای ادامه، فشار و چگالی را به‌صورت ممان‌هایی از تابع توزیع زیرین بیان می‌کنیم.

چگالی حامل و فشار را می‌توان به‌صورت زیر نوشت

\[ n = \int g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \qquad p = \frac{2}{3} \int (E - E_c)\, g(E)\, f(E)\,\mathrm{d}E, \]

که در آن \(g(E)\) چگالی حالات و \(f(E)\) توزیع فرمی–دیراک است. برای یک باند سهموی، این انتگرال‌ها به انتگرال‌های استاندارد فرمی–دیراک کاهش می‌یابند،

\[ n = N_c\, F_{1/2}(\eta), \qquad p = n\, k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}, \]

با پتانسیل شیمیایی کاهش‌یافته \(\eta = (E_{Fn}-E_c)/(k_B T)\)، و \(F_j(\eta)\) انتگرال کامل فرمی–دیراک مرتبه \(j\).

گرفتن گرادیان فشار می‌دهد

\[ \nabla p = k_B T\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla n \;+\; n\,k_B T\, \nabla\!\left( \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)} \right) \;+\; n\,k_B \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}\,\nabla T. \]

جایگذاری این عبارت در جریان نشان می‌دهد که نفوذ و رانش حرارتی توسط یک رابطه اینشتین تعمیم‌یافته کنترل می‌شوند،

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}\, \frac{F_{3/2}(\eta)}{F_{1/2}(\eta)}. \]

این عبارت برای یک باند سهموی دقیق است و از ناحیه غیرواگنیده تا ناحیه شدیداً واگنیده معتبر باقی می‌ماند. در حد غیرواگنیده (\(\eta \ll -1\)), \(F_{3/2}(\eta)/F_{1/2}(\eta) \rightarrow 1\)، و رابطه اینشتین تعمیم‌یافته به فرم آشنای زیر کاهش می‌یابد

\[ D_n = \frac{\mu_n k_B T}{q}. \]

جمله اول رانش ناشی از تغییرات مکانی لبه باند رسانش، شامل هم میدان‌های الکترواستاتیکی و هم جابه‌جایی‌های باندی هتروجانکشن، را نشان می‌دهد. جمله دوم، که شامل گرادیان فشار است، منشأ نفوذ و رانش حرارتی است.

در حالت غیرواگنیده، فشار حامل برابر است با \(p = n k_B T\)، به‌طوری که

\[ \nabla p = k_B T\,\nabla n + n k_B \nabla T. \]

جایگذاری این عبارت در جریان می‌دهد

\[ \mathbf{J}_n = q\mu_n n\,\nabla E_c + \mu_n k_B T\,\nabla n + \mu_n n k_B \nabla T. \]

با استفاده از رابطه اینشتین برای حامل‌های غیرواگنیده، \(D_n = \mu_n k_B T / q\)، جریان را می‌توان در فرم آشنای drift–diffusion با رانش حرارتی صریح نوشت:

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{رانش لبه‌باند}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{نفوذ}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{رانش حرارتی}}. \]

در هتروساختارها، چگالی مؤثر حالات \(N_c(\mathbf{r},T)\) ممکن است به دلیل تغییر در پارامترهای ساختار باند مانند جرم مؤثر، وابستگی مکانی داشته باشد. یک کاهش خودسازگار در این حالت یک جمله رانش ماده اضافی متناسب با \(\nabla\ln N_c\) تولید می‌کند.

با در نظر گرفتن این سهم، جریان drift–diffusion مورد استفاده در شبیه‌سازهای دستگاه را می‌توان به‌صورت زیر نوشت

\[ \mathbf{J}_n = \underbrace{q\mu_n n\,\nabla E_c}_{\text{رانش لبه‌باند}} \;+\; \underbrace{q D_n \nabla n}_{\text{نفوذ}} \;+\; \underbrace{q D_n \frac{n}{T}\nabla T}_{\text{رانش حرارتی}} \;-\; \underbrace{q D_n n\,\nabla\ln N_c}_{\text{رانش DOS / جرم مؤثر}}. \]

وقتی به این صورت نوشته شود، تمام مکانیزم‌های رانش به‌طور طبیعی از همان چارچوب موازنه تکانه پدیدار می‌شوند. میدان‌های الکترواستاتیکی، جابه‌جایی‌های باندی هتروجانکشن، گرادیان‌های دما، و تغییرات مکانی در پارامترهای ماده همگی دقیقاً بر یک مبنا وارد می‌شوند.

یک استخراج کاملاً مشابه برای حفره‌ها نیز برقرار است. با تکرار همان گام‌ها با استفاده از لبه باند ظرفیت \(E_v(\mathbf{r})\) و آمار حفره، چگالی جریان حفره به‌صورت زیر به‌دست می‌آید

\[ \mathbf{J}_p = \underbrace{q\mu_p p\,\nabla E_v}_{\text{رانش لبه‌باند}} \;-\; \underbrace{q D_p \nabla p}_{\text{نفوذ}} \;-\; \underbrace{q D_p \frac{p}{T}\nabla T}_{\text{رانش حرارتی}} \;+\; \underbrace{q D_p p\,\nabla\ln N_v}_{\text{رانش DOS / جرم مؤثر}}, \]

که در آن \(N_v(\mathbf{r},T)\) چگالی مؤثر حالات باند ظرفیت است. علامت‌های مخالف جملات نفوذ و رانش حرارتی بازتاب‌دهنده بار مثبت حفره‌ها هستند.

• رانش حرارتی (ترمودیفیوژن / جمله شبه-Seebeck): تغییرات مکانی در دمای حامل، توزیع شبه‌تعادلی محلی را تغییر می‌دهند و حتی در غیاب میدان الکتریکی، یک شار خالص حامل متناسب با \(\nabla T\) ایجاد می‌کنند.
• رانش چگالی حالات / جرم مؤثر: در هتروساختارها یا مواد با تغییرات مکانی، گرادیان‌ها در پارامترهای ساختار باند (مانند جرم مؤثر) به گرادیان‌هایی در \(N_c\) و \(N_v\) منجر می‌شوند. این جملات در فصل مشترک‌های ماده ضروری‌اند و تضمین می‌کنند که انتقال حامل با آمار و ساختار باند زیرین سازگار باقی بماند.

7. انتقال انرژی / بسط حامل داغ

در مدل drift–diffusion که پیش‌تر استخراج شد، انتقال حامل با پیوستگی ذره و یک موازنه تکانه که به یک قانون جریان جبری کاهش یافته است توصیف می‌شود. فرض می‌شود انرژی حامل به‌سرعت به شبکه آرام می‌گیرد، بنابراین هیچ معادله صریحی برای آن حل نمی‌شود.

وقتی این فرض برداشته شود، باید معادله بعدی در سلسله‌مراتب ممان‌های بولتزمان نگه داشته شود: معادله موازنه انرژی. این معادله کنترل می‌کند که حامل‌ها چگونه از میدان‌های الکتریکی و گرادیان‌های لبه‌باند انرژی می‌گیرند، چگونه آن انرژی را در سراسر دستگاه منتقل می‌کنند، و چگونه آن را به شبکه از دست می‌دهند.

7.1 ممان دوم معادله بولتزمان

موازنه انرژی با ضرب کردن معادله انتقال بولتزمان در انرژی تک‌ذره \(W(\mathbf{k})\) و انتگرال‌گیری روی فضای تکانه به‌دست می‌آید. برای الکترون‌ها، انرژی یک حالت به‌صورت زیر نوشته می‌شود

\[ W(\mathbf{k},\mathbf{r}) = E_c(\mathbf{r}) + \varepsilon(\mathbf{k}), \]

که در آن \(E_c(\mathbf{r})\) لبه باند رسانش و \(\varepsilon(\mathbf{k})\) انرژی جنبشی نسبت به لبه باند است (برای یک باند سهموی، \(\varepsilon=\hbar^2 k^2/2m^\ast\)).

با تعریف انرژی متوسط حامل به‌ازای هر ذره به‌صورت

\[ \bar W = \frac{1}{n}\int W f\,\mathrm{d}^3k, \]

چگالی انرژی متناظر برابر با \(n\bar W\) است. این کمیت برای انرژی همان نقشی را دارد که \(n\) برای تعداد ذرات دارد.

7.2 شار انرژی و ارتباط آن با جریان‌های drift–diffusion

جمله انتقال مکانی در ممان دوم شامل انتگرال‌هایی از فرم \(\int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\) است، که انگیزه تعریف شار انرژی را ایجاد می‌کند

\[ \mathbf{q} \equiv \int W\,\mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k. \]

این کمیت مستقیماً مشابه شار ذره \(n\mathbf{u} = \int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k\)، و بنابراین مشابه چگالی جریان \(\mathbf{J}_n = -q n\mathbf{u}\) است. بنابراین انتقال انرژی به‌طور طبیعی با انتقال حامل کوپل می‌شود.

7.3 کار انجام‌شده توسط میدان الکتریکی و گرادیان‌های لبه‌باند

جمله نیرو در معادله بولتزمان در ممان دوم یک سهم متمایز تولید می‌کند. با استفاده از جزءبه‌جزء در فضای تکانه و همانی \(\nabla_{\mathbf{k}} W = \hbar\mathbf{v}\)، به‌دست می‌آید

\[ \int W\,\frac{\mathbf{F}}{\hbar}\cdot\nabla_{\mathbf{k}} f\,\mathrm{d}^3k = -\,\mathbf{F}\cdot\int \mathbf{v} f\,\mathrm{d}^3k = -\,n\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{F}. \]

اگر نیروی وارد بر الکترون‌ها را \(\mathbf{F}=-\nabla E_c\) بنویسیم، این جمله به شکل زیر درمی‌آید

\[ n\,\mathbf{u}\cdot\nabla E_c = -\frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c. \]

این همان کار الکتریکی انجام‌شده بر جمعیت حامل است. در حالت خاصی که \(E_c=-q\phi\) باشد، این جمله به عبارت آشنای گرمایش ژولی \(\mathbf{J}_n\cdot\mathbf{E}\) کاهش می‌یابد.

7.4 معادله موازنه انرژی و ارتباط آن با drift–diffusion

با جمع‌آوری تمام سهم‌ها، معادله ممان دوم را می‌توان به‌صورت زیر نوشت

\[ \frac{\partial}{\partial t}(n\bar W) + \nabla\cdot\mathbf{q} - \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c = -\frac{n(\bar W-\bar W_0)}{\tau_W}. \]

این معادله از طریق چگالی جریان \(\mathbf{J}_n\) مستقیماً با مدل drift–diffusion کوپل است. هیچ جمله گرمایشی ad hoc اضافی لازم نیست: اتلاف توان الکتریکی به‌طور طبیعی از همان رانش لبه‌باندی که در قانون جریان ظاهر می‌شود پدیدار می‌گردد.

7.5 ارتباط با حد استاندارد drift–diffusion

برای دیدن این‌که این موضوع چگونه با مدل‌های آشنای drift–diffusion مرتبط می‌شود، حالت نزدیک به تعادل و غیرواگنیده را در نظر بگیرید. سهم جنبشی در انرژی متوسط برابر است با

\[ \bar W - E_c = \frac{3}{2}k_B T_e, \]

به‌طوری که

\[ n\bar W = nE_c + \frac{3}{2}n k_B T_e. \]

در drift–diffusion حالت پایا با آرامش سریع انرژی، \(T_e \approx T_L\) و \(\bar W \approx \bar W_0\)، مشتق زمانی \(\partial_t(n\bar W)\) صفر می‌شود و معادله انرژی به یک موازنه بین گرمایش الکتریکی و اتلاف انرژی به شبکه فرو می‌ریزد.

نگه داشتن معادله موازنه انرژی این محدودیت را برمی‌دارد. دمای حامل \(T_e\) به یک متغیر پویا تبدیل می‌شود، و به مدل اجازه می‌دهد گرمایش میدانی، بیش‌جهش سرعت، و انتقال غیرتعادلی را در حالی ثبت کند که کاملاً با چارچوب drift–diffusion استخراج‌شده پیشین سازگار باقی می‌ماند.

با کنار هم گذاشتن همه چیز، معادله موازنه انرژی که در یک حل‌گر مبتنی بر drift–diffusion پیاده‌سازی می‌شود را می‌توان به فرم زیر نوشت:

\[ \frac{\partial}{\partial t} \!\left( \frac{3}{2} n k_B T_e \right) \;+\; \nabla\!\cdot\! \left( \frac{3}{2} k_B T_e\,\frac{\mathbf{J}_n}{q} - \kappa \nabla T_e \right) \;-\; \frac{1}{q}\,\mathbf{J}_n\cdot\nabla E_c \;=\; -\,\frac{3}{2}\frac{n k_B (T_e - T_L)}{\tau_W}. \]

در اینجا \(T_e\) دمای حامل (الکترون)، \(T_L\) دمای شبکه، \(\kappa\) رسانندگی گرمایی حامل، و \(\tau_W\) زمان آرامش انرژی است. این معادله به‌صورت خودسازگار همراه با معادله پواسون، معادلات پیوستگی حامل، و روابط جریان drift–diffusion حل می‌شود.

8. مدل نهایی کوپله که در OghmaNano حل می‌شود

OghmaNano یک دستگاه کوپله از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را حل می‌کند. مجموعه دقیق معادلات به مدل فیزیکی انتخاب‌شده (فقط drift–diffusion، یا drift–diffusion همراه با انتقال انرژی) بستگی دارد. جدول زیر معادلات و زمان استفاده از آن‌ها را خلاصه می‌کند.