معادلات drift diffusion

2. الکترواستاتیک

در مدل‌سازی دستگاه‌های نیمه‌رسانا، ترازهای انرژی موضعی نوار رسانش و نوار ظرفیت (یا به‌طور معادل، LUMO و HOMO در نیمه‌رساناهای آلی) به‌وسیله پتانسیل الکترواستاتیکی \(\phi\) جابه‌جا می‌شوند. این لبه‌های نوار به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

\[E_{\mathrm{LUMO}} = -\chi - q\phi\]

\[E_{\mathrm{HOMO}} = -\chi - E_g - q\phi\]

در اینجا \(\chi\) الکترون‌خواهی است، \(E_g\) گاف باند است، و \(q\) بار بنیادی است. پتانسیل \(\phi\) به‌صورت خودسازگار با حل معادله پواسون در سراسر دستگاه تعیین می‌شود.

معادله پواسون به شکل زیر است

\[ \nabla \cdot \bigl( \epsilon_0 \epsilon_r \nabla \phi \bigr) = -q \left( n_f + n_t - p_f - p_t - N_{ad} + N_{ion} + a \right), \]

که در آن \(n_f\) و \(p_f\) چگالی الکترون‌ها و حفره‌های آزاد هستند، در حالی که \(n_t\) و \(p_t\) چگالی‌های متناظر حامل‌های به‌دام‌افتاده هستند. جمله \(N_{ad}\) نشان‌دهنده چگالی دوپانت یونیده‌شده است، \(N_{ion}\) بار یونی زمینه را در نظر می‌گیرد (برای مثال، یون‌های ثابت در لایه‌های پروسکایتی)، و \(a\) بیانگر یون‌های متحرکی است که می‌توانند در پاسخ به میدان موضعی رانش کنند. گذردهی‌های \(\epsilon_0\) و \(\epsilon_r\) شدت پاسخ الکترواستاتیکی را تعیین می‌کنند.

این فرمول‌بندی همه سهم‌های مرتبط در بار فضایی را در بر می‌گیرد: حامل‌های آزاد و به‌دام‌افتاده، دوپینگ عمدی، و هر دو گونه یونی ساکن و متحرک. این موضوع به‌ویژه برای مواد هیبریدی مانند مواد آلی و پروسکایت‌های هالیدی مهم است، جایی که حرکت یونی و حالت‌های تله به‌شدت بر پتانسیل الکترواستاتیکی اثر می‌گذارند و به پدیده‌هایی مانند هیسترزیس و گذراهای کند منجر می‌شوند.