معادلات رانش–پخش

3. آمار حامل‌های بار آزاد

در OghmaNano می‌توانید انتخاب کنید که حامل‌های آزاد از نظر آماری چگونه توصیف شوند: یا با تقریب کلاسیک Maxwell–Boltzmann (MB) یا با آمار کامل Fermi–Dirac (FD). انتخاب مناسب به ماده، چگالی حامل‌ها، و این‌که آیا تباهگنی یا یک چگالی حالت (DOS) غیرسهموی / بی‌نظم باید ثبت شود بستگی دارد.

در تقریب MB (معتبر هنگامی که سطوح شبه‌فرمی چندین \(kT\) با لبه‌های نوار فاصله دارند)، چگالی‌های حامل به‌صورت زیر هستند

\[n_{l}=N_c \exp\!\left(\frac{F_n-E_{c}}{kT}\right)\]

\[p_{l}=N_v \exp\!\left(\frac{E_{v}-F_p}{kT}\right)\]

که در آن \(N_c\) و \(N_v\) چگالی‌های مؤثر حالت‌ها در نوارهای رسانش و ظرفیت هستند، \(F_n\) و \(F_p\) سطوح شبه‌فرمی الکترون و حفره هستند، و \(E_c\)، \(E_v\) لبه‌های نوار موضعی هستند.

وقتی تباهگنی یا شکل DOS اهمیت داشته باشد، از آمار کامل FD استفاده کنید. در این صورت چگالی‌های الکترون و حفره از رابطه‌های زیر محاسبه می‌شوند

\[n_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, f(E,E_{f},T)\, dE\]

\[p_{\mathrm{free}}(E_{f},T)=\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\, \bigl[1-f(E,E_{f},T)\bigr]\, dE\]

همراه با توزیع Fermi–Dirac

\[f(E,E_f,T)=\frac{1}{1+\exp\!\bigl((E-E_f)/kT\bigr)}\]

و (برای یک نوار سهموی سه‌بعدی) DOS

\[\rho(E)_{3D}=\frac{\sqrt{E}}{4\pi^2}\left(\frac{2m^{*}}{\hbar^2}\right)^{3/2}\]

که در آن \(m^*\) جرم مؤثر و \(\hbar\) ثابت پلانک کاهیده است. در سامانه‌های بی‌نظم یا غیرسهموی می‌توانید به‌جای آن یک DOS سفارشی \(\rho(E)\) وارد کنید.

انرژی متوسط حامل (مفید برای مدل‌های پراکندگی/بازترکیب) برابر است با

\[\label{eq:energy} \bar{W}(E_{f},T)= \frac{\int_{E_{\min}}^{\infty} E\,\rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} {\int_{E_{\min}}^{\infty} \rho(E)\,f(E,E_{f},T)\, dE} \]

در حد MB با یک DOS سهموی، این به مقدار آشنای \(\bar{W}=\tfrac{3}{2}kT\) کاهش می‌یابد. برای DOS نامنظم یا بی‌نظم (برای مثال مواد آلی، a-Si، پرووسکایت‌های هیبریدی)، انتگرال باید ارزیابی شود و انرژی متوسط عموماً از \(\tfrac{3}{2}kT\) انحراف پیدا می‌کند.