漂移-扩散方程

2. 电荷载流子输运

半导体中的电荷输运由电子和空穴的耦合 drift–diffusion 方程描述。 这些方程考虑了由电场、 浓度梯度以及温度梯度（热电效应）驱动的载流子运动。 从玻尔兹曼输运方程出发对这些方程进行 第一性原理推导的详细过程见 漂移-扩散理论：从玻尔兹曼输运到能量平衡 。

对于电子，电流密度为：

\[ \boldsymbol{J_n} = q \mu_e n_f \nabla E_c + q D_n \nabla n_f + q \mu_e n_f \frac{\nabla T}{T}, \]

对于空穴：

\[ \boldsymbol{J_p} = q \mu_h p_f \nabla E_v - q D_p \nabla p_f - q \mu_h p_f \frac{\nabla T}{T}. \]

其中，\(q\) 为基本电荷， \(n_f\) 和 \(p_f\) 分别为自由电子和空穴密度， \(\mu_e\) 和 \(\mu_h\) 为载流子迁移率， \(D_n\) 和 \(D_p\) 为扩散系数。 量 \(E_c\) 和 \(E_v\) 表示局部导带和价带边缘能量。 以带边梯度而不是电场来表示电流， 可以确保异质结和材料能带偏移得到正确处理； 详细内容见 漂移-扩散推导 第 5 节。

每个表达式中的最后一项表示热驱动 （热扩散），它在动量平衡自洽化简时自然产生。 在简化模型中该项常被忽略，但在具有强温度梯度 或载流子加热的器件中会变得重要。 其来源在 能量输运扩展 中进行了讨论。

电荷守恒由载流子连续性方程保证。 对于电子：

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_n} = q \left( R - G + \frac{\partial n}{\partial t} \right), \]

对于空穴：

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{J_p} = - q \left( R - G + \frac{\partial p}{\partial t} \right). \]

这些连续性方程通过对 玻尔兹曼输运方程取零阶矩得到， 如 推导第 4 节 所示。 项 \(R\) 和 \(G\) 分别表示复合和产生， 而时间导数描述瞬态电荷的存储与释放。

漂移-扩散电流关系与连续性方程共同构成 半导体器件建模的核心。 在 OghmaNano 中，这些方程可以与泊松方程 在1D、2D 或完整 3D中自洽求解， 并且可以扩展以包含 能量输运（热载流子效应） 以及在需要时包含非平衡陷阱动力学。